Question

【题目】如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上，为的重心，已知，，，.

（1）证明：平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

（3）设点在线段上，使得，试确定的值，使得二面角为直二面角.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）方法一：由重心的性质得出，再由，结合相似三角形的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理得出平面；

方法二：以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，利用重心的坐标公式计算出点的坐标，可计算出，可证明出，再利用直线与平面平行的判定定理得出平面；

（2）计算出和，利用向量的坐标运算计算出，即可得出异面直线与所成角的余弦值；

（3）由，得出，可求出的坐标，然后可计算出平面（即平面）的一个法向量和平面的一个法向量，由题意得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求出实数的值.

（1）方法一：如图，连接，因为是的重心，是的中点，

即，，，，

所以，，又因为平面，平面，平面；

方法二：以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，

则、、、、、，

是的重心，则点的坐标为，

，，即，

又因为平面，平面，平面；

（2），，，

所以异面直线与所成角的余弦值；

（3），，，

，

，

，，，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

由，得，即，令，可得，，

所以，平面的一个法向量为，

由，得，得，

取，则，，

所以，平面的一个法向量为，

由于二面角为直二面角，所以，，

则，解得，合乎题意.