Question

17．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥面BDC₁；
（2）若AA₁=3，求二面角C₁-BD-C的余弦值；
（3）若在线段AB₁上存在点P，使CP⊥面BDC₁，试求AA₁的长．

Answer 1

分析 （1）连接B₁C，交BC₁于点O，在△ABC中，OD是中位线，即得到OD∥B₁A，可判定B₁A∥面BDC₁．
（2）以CC₁，CA，CB分别为x、y、z轴建立坐标系，分别求出面C₁DB、面BDC的法向量即可；
（3）同（2）建立坐标系，由$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=-λ{a}^{2}+2-2λ$，=0，$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{BD}=2-6λ=0$．解得a，λ即可．

解答 解：（1）连接B₁C，交BC₁于点O，
则O为B₁C的中点，∵D为AC中点，在△ABC中，OD是中位线，∴OD∥B₁A，
又B₁A?平面BDC₁，OD?平面BDC₁
∴B₁A∥面BDC₁ …..（3分）


（2）∵AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁，
∴CC₁⊥面ABC，则BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC
如图建系，则C₁（3，0，0），B（0，0，2），D（0，1，0），C（0，0，0）
∴$\overrightarrow{{C}_{1}D}=（-3，1，0），\overrightarrow{{C}_{1}B}=（-3，0，2）$
设平面C₁DB的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}B}=-3x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=-3x+y=0}\end{array}\right.$
则$\overrightarrow{n}=（2，6，3）$-
又平面BDC的法向量为$\overrightarrow{C{C}_{1}}=（3，0，0）$．
∴二面角C₁-BD-C的余弦值：|cos＜$\overrightarrow{C{C}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2}{7}$…（8分）
（3）设设AA₁=a，$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{A{B}_{1}}$，则$\overrightarrow{AP}=（λa，2-2λ，2λ）$．
∴$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}=（λa，2-2λ，2λ）$
又$\overrightarrow{{C}_{1}D}=（-a，1，0），\overrightarrow{BD}=（0，1，-2）$，CP⊥面BDC₁，
$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=-λ{a}^{2}+2-2λ$，=0，$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{BD}=2-6λ=0$．解得a=2，λ=$\frac{1}{3}$
所以AA₁=2． …．（13分）

点评 本题考查了空间线面垂直、线面平行的判定，向量法在空间位置关系、角中的应用，属于中档题．