Question

8．若有关x的方程x²lnx=kx-1有实数解，则实数k的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-1]∪[1，+∞）
• B． （-∞，-1]
• C． [1，+∞）
• D． （-∞，-1]∪（1，+∞）

Answer 1

分析 化简可得k=xlnx+$\frac{1}{x}$，令f（x）=xlnx+$\frac{1}{x}$，从而求导可得f′（x）=lnx+1-$\frac{1}{{x}^{2}}$；从而判断函数的单调性及最值，从而求实数k的取值范围．

解答 解：∵x²lnx=kx-1，
∴k=xlnx+$\frac{1}{x}$，
令f（x）=xlnx+$\frac{1}{x}$，则f′（x）=lnx+1-$\frac{1}{{x}^{2}}$；
故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）_min=f（1）=1•ln1+1=1，
故实数k的取值范围为[1，+∞）；
故选：C．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的最值，同时考查了方程与函数的关系应用．