Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，为的中点，为的中点，点在线段上，且．

（1）求证：平面；

（2）若平面底面ABCD，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）（法一）如图，设中点为，连接，，，则有，利用线面平行的判定定理，证得平面，进而证得平面，从而证得平面平面，即可求得平面.

（法二）连接、、，则有，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。

解：（1）证明：（法一）如图，设中点为，连接，，，则有，

∵平面，平面，∴平面，

又∵，∴，

∵平面，平面，∴平面，

又∵，∴平面平面，∴平面.

（法二）如图，设中点为，为线段上一点，且.

连接、、，则有，

∵，∴，∴，且，

即为平行四边形，∴，

∵平面，平面，∴平面.

（2）∵平面底面，且，∴底面，

如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，

设平面的一个法向量为，

则，∴，

取，可得，

又易知平面的一个法向量，

设平面与平面所成锐二面角为，则，

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.