Question

【题目】已知函数.

（1）求的单调递增区间；

（2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）时，增区间为；时，增区间为；时，增区间为，；（2）.

【解析】

（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，令求得的范围，可得函数增区间；（2）由（1）知， 且，， 恒成立，可化为恒成立，利用导数求出函数，的最小值即可得结果.

（1）函数的定义域为，，

令，，

若时，，在恒成立，函数在上单调递增.

若，，方程，

两根为，，

当时，，，，单调递增.

当时，，，

，，单调递增，，，单调递增.

综上，时，函数单调递增区间为，

时，函数单调递增区间为，

时，函数单调递增区间为，.

（2）由（1）知，存在两个极值点时，且，，则，，且，.

此时恒成立，可化为

恒成立，

设，，

，

因为，所以，，所以，故在单调递减，

，所以实数的取值范围是.