Question

已知抛物线y=ax²（a＞0），直线l₁、l₂都过点P（1，-2）且都与抛物线相切．
（1）若l₁⊥l₂，求a的值．
（2）直线l₁、l₂与分别与x轴相交于A、B两点，求△PAB面积S的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意直线l₁，l₂的斜率分别设为k₁，k₂，过点P（1，-2）的直线设为y=k（x-1）-2，由，得ax²-kx+k+2=0，由直线l₁、l₂都过点P（1，-2）且都与抛物线相切，知，再由l₁⊥l₂，能求出a的值．
（2）l₁的方程是：y=k₁（x-1）-2，令y=0，得．l₂的方程：y=k₂（x-1）-2，令y=0，得.=．由此能求出△PAB面积S的取值范围．
解答：解：（1）由题意直线l₁，l₂的斜率存在且不为0，
分别设为k₁，k₂，
过点P（1，-2）的直线设为y=k（x-1）-2，
由，得ax²-kx+k+2=0，
∵直线l₁、l₂都过点P（1，-2）且都与抛物线相切，
∴，
∴k₁+k₂=4a，k₁k₂=-8a．
∵l₁⊥l₂，
∴k₁k₂=-8a=-1，
∴．
（2）l₁的方程是：y=k₁（x-1）-2，令y=0，得．
l₂的方程：y=k₂（x-1）-2，令y=0，得．
∴
=
=
=
=
=．
∴
=，
∵a＞0，
∴S_△ABP＞1．
点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．