Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与直线y=-bx交于A、B两点，其中a＞b＞c，a+b+c=0，设线段AB在x轴上的射影为A₁B₁，则|A₁B₁|的取值范围是（　　）

• A、(

  3

  ，   2

  3

  )
• B、(

  3

  ，   +∞)
• C、(0，   

  3

  )
• D、(2，   2

  3

  )

Answer 1

分析：先设出A，B坐标，把抛物线方程和直线方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x₁+x₂和，x₁x₂，利用配方法表示出|A₁B₁|，进而根据a+b+c=0求得关于a和b的|A₁B₁|的表达式，进而根据a＞b＞c，a+b+c=0，求得

b

a

范围，代入|A₁B₁|的表达式求得|A₁B₁|的范围．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）把抛物线y=ax²+bx+c与直线y=-bx联立，得0=ax²+2bx+c
∴x₁+x₂=-

2b

a

，x₁x₂=

c

a

．
∴|A₁B₁|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

4b2 a2 - 4c a

∵a+b+c=0
∴c=-a-b，|A₁B₁|=

4b2-4a2-4ab a2

∵a＞b＞c，a+b+c=0，所以c=-a-b＜a，2a＞-b，因为a＞b所以a＞-2a，a＞0；a＞-

b

2

∴

b

a

∈（-2，1）
∴二次函数y=

b2

a2

-

b

a

-1值域为（

3

4

，3）
∴|A₁B₁|∈（

3

，2

3

）
故答案为：（

3

，2

3

）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，平时应加强复习．