Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且在轴上的顶点分别为，.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与轴交于点，点为直线上异于点的任一点，直线分别与椭圆交于点，试问直线能否通过椭圆的焦点？若能，求出的值，若不能，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）能，

【解析】

（1）由题意得，，从而求得、的值，从而求得椭圆的方程．

（2）设，，，，把直线方程代入椭圆的方程解出点、点坐标，由直线与直线的交点在直线上，求出直线与轴交点坐标，从而求得线是通过椭圆的焦点的条件．

解：（1）由已知椭圆的离心率，，则得，.从而椭圆的方程为.

（2）设，，直线的斜率为，则直线的方程为，由消整理得和是方程的两个根， 则，，即点的坐标为，

同理，设直线的斜率为，则得点的坐标为

，，直线的方程为：，

令，得，将点的坐标代入，化简后得：

又，椭圆的焦点为，即

故当时，过椭圆的焦点.