Question

11．若（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ（n∈N^*，n＞1）的展开式中x^-4的系数为a_n，则$\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$为（　　）

• A． $\frac{n-1}{n}$
• B． $\frac{2n-2}{n}$
• C． $\frac{1-n}{n}$
• D． $\frac{2-2n}{n}$

Answer 1

分析 根据通项公式求得展开式中x^-4的系数为a_n =${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），从而求得要求式子的值．

解答 解：（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ（n∈N^*，n＞1）的展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{n}^{r}$•（-1）^r•x^-2r，
故展开式中x^-4的系数为a_n =${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）]=2（1-$\frac{1}{n}$）=$\frac{2n-2}{n}$，
故选：B．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，用裂项法进行求和，属于基础题．