Question

20．四棱锥S-ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2$\sqrt{2}$，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点．
（1）求证：SD∥平面CFA；
（2）证明：SA⊥BC；
（3）求三棱锥A-SCF的体积．

Answer 1

分析 （1）连结BD交AC于E，连结EF，由三角形中位线定理能证明SD∥平面CFA．
（2）取BC中点O，连结AO、SO，由已知条件推导出△ABC是等腰直角三角形，由此能证明SA⊥BC．
（3）由题意，AO⊥侧面SBC，S_△SCF=$\frac{1}{2}×2×1$=1，AM=$\sqrt{2}$，利用体积公式可得结论．

解答 （1）证明：连结BD交AC于E，连结EF，
由于底面ABCD为平行四边形，∴E是AD中点，
在△BSD中，F为SD中点，∴EF∥SD
又∵EF?面CFA，SD不包含于面CFA，
∴SD∥平面CFA．
（2）证明：取BC中点O，连结AO，SO，∴SO⊥BC
∵∠ABC=45°，BC=2，AB=2$\sqrt{2}$，∴AC=2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
又点O是BC的中点，
∴OA⊥BC，
∴BC⊥平面AOS，∴SA⊥BC．
（3）解：由题意，AO⊥侧面SBC，S_△SCF=$\frac{1}{2}×2×1$=1，AM=$\sqrt{2}$，
∴三棱锥A-SCF的体积V=$\frac{1}{3}×1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行，垂直的判定定理，平面与平面垂直的性质定理，三棱锥的体积等知识．属于中档题．