Question

在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求证：BC⊥平面PBD；
（2）在侧面PC上求一点Q，使得二面角Q-BD-P的余弦值为

3

3

．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先根据面面垂直转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直，利用勾股定理的逆定理得到：△BCD是直角三角形，最后求得线面垂直．
首先建立空间直角坐标系，利用法向量得到二面角的夹角，最后求得点Q的位置．

解答： （1）证明：在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，
则：PD⊥底面ABCD，
PD⊥BC
由底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
解得：BD=BC=

2

由于：BC²+BD²=CD²
所以：△BCD是直角三角形．
BC⊥BD
所以：BC⊥平面PBD
（2）建立空间直角坐标系D-xyz，则：

PC

=(0，2，-1)，

BC

=(-1，1，0)，
设

PQ

=λ

PC

，设Q（x₀，y₀，z₀）
则：（x₀，y₀，z₀）=（0，2λ，-λ）
则：Q（0，2λ，1-λ）

DQ

=(0，2λ，1-λ)
设平面BDQ的法向量为：

n

=(a，b，c)
根据线段长求得：

BD

=(1，1，0)
所以：

n • BD =0 n • DQ =0

所以：

a+b=0 2λb+(1-λ)c=0

解得：

n

=(-1，1，

2λ

λ-1

)
由于二面角Q-BD-P的余弦值为

3

3

．
则：

3

3

=|

n • BC

| n || BC |

|
解得：λ=

1

2

所以：点Q是PC的中点．

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质定理，勾股定理的应用，空间直角坐标系的建立，法向量，二面角的应用．属于中等题型．