Question

（2012•盐城二模）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，DC=2，点E在PB上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PAD；
（2）当PD∥平面AEC时，求PE：EB的值．

Answer 1

分析：（1）过A作AF⊥DC于F，根据中线等于斜边一半可得AC⊥DA，再根据线面垂直的性质定理可知AC⊥PA，最后根据线面垂直的判定定理可得AC⊥底面PAD，再根据面面垂直的判定定理可得结论；
（2）连接BD交AC于点O，连接EO，根据线面平行的性质定理可知PD∥EO，则PE：EB=DO：OB，而DO：OB=DC：AB=2，从而可求出PE：EB的值．

解答：（1）证明：过A作AF⊥DC于F，则CF=DF=AF，所以∠DAC=90°，即AC⊥DA …2分
又PA⊥底面ABCD，AC?面ABCD，所以AC⊥PA …4分
因为PA、AD?面PAD，且PA∩AD=A，所以AC⊥底面PAD …6分
而AC?面ABCD，所以平面AEC⊥平面PAD …8分
（2）解：连接BD交AC于点O，连接EO，因为PD∥平面AEC，PD?面PBD，面PBD∩面AEC=EO，所以PD∥EO…11分
则PE：EB=DO：OB，而DO：OB=DC：AB=2，所以PE：EB=2 …14分

点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及线面平行的性质，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于基础题．