Question

己知函数在处的切线斜率为.

（1）求实数的值及函数的单调区间；

（2）设，对使得恒成立，求正实数的取值范围；

（3）证明：.

 

Answer 1

（1）；的单调递增区间为，单调递减区间为

（2） （3）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）由及处的切线斜率为，可得，即可求得，故，由及即可求得的单调区间；

（2）由，，使得恒成立，只须，由（1）可求得，因为，故只须，即可求得.

（3）要证明,

只须证，即证，由（1）易知，当时，，为减函数，，即，故当时，，，进而再利用裂项放缩，即可证明结果成立.

试题解析：（1）由已知：，∴由题知，解得；

于是，

当时，，为增函数，

当时，，为减函数，

即的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由（1），，即的最大值为，

由题知：对，，使得恒成立，

只须，

，

∴ 只须，解得．

（3）要证明．

只须证，

只须证．

由（1）当时，，为减函数，

，即，∴ 当时，，

，

．

考点：利用导数求函数单调性；不等式恒成立；裂项放缩证明不等式.