Question

【题目】若函数f（x）=x﹣ sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（　　）
A.[﹣1，1]
B.[﹣1， ]
C.[﹣ ， ]
D.[﹣1，﹣ ]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函数f（x）=x﹣ sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣ cos2x+acosx，
由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣ cos2x+acosx≥0，即有 ﹣ cos2x+acosx≥0，
设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，
当t=0时，不等式显然成立；
当0＜t≤1时，3a≥4t﹣ ，由4t﹣ 在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣ ；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣ ，由4t﹣ 在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤ ．综上可得a的范围是[﹣ ， ]．
故选：C．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．