Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性 ；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，若函数有两个极值点,求

的最大值.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上递减；当 时，在 上内单调递增，在 内单调递减；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2），由，当时，，所以在内单调递减，则有 ，从而 ,再证明当时，不符合题意,从而可得实数的取值范围为；（3）求的最大值可转化为，的最大值，利用导数可得在单调递增， 当时，取得最大值，最大值为.

试题解析：（1）由已知得,

当时，，在内单调递减.

当时，若，有，若，有，则在上内单调递增，在内单调递减.

（2）令，由

解法一：

当时，，所以在内单调递减，

则有 ，从而 ,

当时，，得，当，有，则在上内单调递增，此时 ，与恒成立矛盾，因此不符合题意,

综上实数的取值范围为.

解法二：

当时，，所以在内单调递减，

则有 ，符合题意.

当时，，得，当，有，若，有，则在上内单调递增，在内单调递减.又，

因此，即 ,

综上实数的取值范围为.

（3），则，

由已知，可得，即方程有2个不相等的实数根，

则， 解得 ，其中,

而

由可得，又，所以,

设，

，由，则，故

所以在单调递增，

当时，取得最大值，最大值为.