Question

4．若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为18π．

Answer 1

分析 设长方体的三度为a，b，c，则ab=1，abc=4，可得c=4，长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径的最小值，即可求出球O表面积的最小值．

解答 解：设长方体的三度为a，b，c，则ab=1，abc=4，∴c=4．
长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以2r=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+16}$≥$\sqrt{2ab+16}$=3$\sqrt{2}$，
当且仅当a=b时，r的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
所以球O表面积的最小值为：4πr²=18π．
故答案为：18π．

点评 本题是基础题，考查长方体的外接球的应用，球的表面积的求法，考查计算能力．