题目内容
9．已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．若数列{bn}满足：4${\;}^{{b_1}-1}}$•4${\;}^{{b_2}-1}}$•…4${\;}^{{b_n}-1}}$=（an+1）bn（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：{bn}是等差数列．
分析 （1）数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．变形为an+1+1=2（an+1），利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）数列{bn}满足：${4}^{{b}_{1}-1}•{4}^{{b}_{2}-1}$…$•{4}^{{b}_{n-1}-1}$•${4}^{{b}_{n}-1}$=$（{a}_{n}+1）^{{b}_{n}}$=${2}^{n{b}_{n}}$，n≥2时，${4}^{{b}_{1}-1}•{4}^{{b}_{2}-1}$…$•{4}^{{b}_{n-1}-1}$=${2}^{（n-1）{b}_{n-1}}$，可得${4}^{{b}_{n}-1}$=${2}^{n{b}_{n}-（n-1）{b}_{n-1}}$，化为：2（bn-1）=nbn-（n-1）bn-1，可得：2（bn+1-1）=（n+1）bn+1-nbn，相减化简即可证明．
解答 解：（1）数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．
∴an+1+1=2（an+1），
∴数列{an+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴an+1=2n，∴an=2n-1．
（2）证明：数列{bn}满足：${4}^{{b}_{1}-1}•{4}^{{b}_{2}-1}$…$•{4}^{{b}_{n-1}-1}$•${4}^{{b}_{n}-1}$=$（{a}_{n}+1）^{{b}_{n}}$=${2}^{n{b}_{n}}$
n=1时，${4}^{{b}_{1}-1}$=${2}^{{b}_{1}}$，解得b1=2．
n≥2时，${4}^{{b}_{1}-1}•{4}^{{b}_{2}-1}$…$•{4}^{{b}_{n-1}-1}$=${2}^{（n-1）{b}_{n-1}}$，
可得${4}^{{b}_{n}-1}$=${2}^{n{b}_{n}-（n-1）{b}_{n-1}}$，化为：2（bn-1）=nbn-（n-1）bn-1，
可得：2（bn+1-1）=（n+1）bn+1-nbn，
相减可得：（n-1）bn+1+（n-1）bn-1=2（n-1）•bn，
化为：bn+1+bn-1=2•bn，
∴{bn}是等差数列．
点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式、指数运算性质、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | 是偶函数，但不是奇函数 | B． | 是奇函数，但不是偶函数 | ||
| C． | 既是奇函数，又是偶函数 | D． | 既不是奇函数，也不是偶函数 |
| A． | e2 | B． | $\frac{{e}^{2}+1}{2}$ | C． | $\frac{{e}^{2}-1}{2}$ | D． | $\frac{{e}^{2}+3}{2}$ |
