Question

13．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，它的两个顶点是线段F₁F₂的三等分点，过焦点F₁且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，|AB|=16，求双曲线C的方程．

Answer 1

分析 利用已知条件列出双曲线的实半轴与半焦距，虚半轴的关系，然后求解即可．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，它的两个顶点是线段F₁F₂的三等分点，
可得2a=$\frac{2c}{3}$，即：c=3a…①，
过焦点F₁且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，|AB|=16，可得$\frac{2{b}^{2}}{a}=16$，
即：c²-a²=8a…②
解得a=1，c=3，则b²=8，
所求的双曲线方程为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$．

点评 本题考查双曲线的简单性质，双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．