Question

【题目】已知函数f（x）＝ln（x＋1）＋ax2－x．

（Ⅰ）讨论f（x）在[0，＋∞）上的单调性；

（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）＋x有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证:g（x2）＞－ln2．

Answer 1

【答案】（1）当a≤0时，f（x）在上单调递减；当时，f（x）在上单调递增；

当时，f（x）在上单调递减，f（x）在上单调递增；

（2）见解析.

【解析】

（Ⅰ）先对函数求导得，再对a分类讨论得到f（x）在[0，＋∞）上的单调性. （Ⅱ）先求导，设，得到g（x）在取得极大值，在取得极小值.求出，设，所以.

（Ⅰ）解：，设，

①当a≤0时，h（x）＜0，∴f（x）在上单调递减；

②当2a-1≥0，即时，h（x）≥0，∴f（x）在上单调递增；

③当2a-1＜0，即时，时，h（x）＜0，∴f（x）单调递减；

时，h（x）＞0，∴f（x）单调递增.

综上所述，当a≤0时，f（x）在上单调递减；

当时，f（x）在上单调递增；

当时，f（x）在上单调递减，f（x）在上单调递增.

（Ⅱ）证明：，

，设，

①若 a＝0，，∴g（x）在上单调递增，不合题意；

② 若a＜0，∵，∴在上只有一个根，不合题意；

③ 若a＞0，使有两不同实根，且，只需，即a＞2.

∵，，∴，

∴g（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

∴g（x）在取得极大值，在取得极小值.

∵，

∴，

设，∴m（t）在上是增函数，

∴，∴.