Question

【题目】如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，且AB=14，BD=6，∠ADC=，．

（Ⅰ）求sin∠DAC；

（Ⅱ）求AD的长和△ABC的面积．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（Ⅰ）在中，已知∠ADC=，，要求sin∠DAC，所以将∠DAC用∠ADC和∠C来表示可得∠DAC=π﹣（∠ADC+∠C），进而用诱导公式可得， 再用两角和的正弦公式展开，利用条件可求得结果；（Ⅱ）在△ABD中，知道一个角、两条边，故可用余弦定理求边AD的长。△ACD中，根据条件由正弦定理可求CD边长，进而可求BC边长，根据条件分别求的面积即可得所求。

解：（Ⅰ）△ACD中，因为∠DAC=π﹣（∠ADC+∠C），∠ADC=，

所以 =；

因为 ，0＜∠C＜π，所以 ；

所以 ；

（Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理可得AB2=BD2+AD2﹣2BDADcos∠ADB，

所以 ，所以 AD2+6AD﹣160=0，即 （AD+16）（AD﹣10）=0，

解得AD=10或AD=﹣16（不合题意，舍去）；所以 AD=10；

在中，由正弦定理得，即 ，解得CD=15；所以 ，即．