Question

（本小题满分12分）如图,在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,,,平面⊥底面,为的中点,是棱上的点,，，

（Ⅰ）若是棱的中点,求证:；

（Ⅱ）求证:若二面角M-BQ-C为30°,试求的值。

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析，（Ⅱ）

【解析】

试题分析：根据线面平行的判定定理，只需寻求线线平行，由于点是棱的中点,可以考虑利用中位线定理，连接交于,可以证明为为中位线，则，从而得出线面平行；第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，由于平面的法向量为，再求出平面的法向量，最后利用二面角为，得出等量关系，求出的值即可.

试题解析：证明:（Ⅰ）连接，交于,连接，且，即，
∴四边形为平行四边形,且为中点, 又因为点是棱的中点, ，因为
平面，平面，则；
（Ⅱ）因为 为的中点, 则.∵平面平面,且平面平面, ∴平面,∵,为的中点, ∴四边形为平行四边形,∴, ∵, ∴,即．
如图,以为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为; 由于,,,
则,，设, 在平面中,，

, ∴ 平面法向量为 ∵二面角为, ,∴ （舍）， ∴

考点：1.直线与平面平行的判定定理；2.用法向量求二面角；