题目内容

设直线l与椭圆相交于A、B两点，l又与双曲线x2-y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB．求直线l的方程。
解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为y=kx+b，
如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：
 
依题意有
由得
∴
由得
若，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故
∴
由
或
（i）当k=0时，由（1）得
由（2）得
由
即
故l的方程为
（ii）当b=0时，由（1）得

由（2）得
由
即
故l的方程为
再讨论l与x轴垂直的情况
设直线l的方程为x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得

由
即
故l的方程为
综上所述，故l的方程为，和。
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）．
（i）若|AB|=
4
2
5
，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且
QA
•
QB
=4．求y0的值．
已知椭圆
x2
a2
+y2=1（a＞0）的离心率为
3
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0），若|AB|=
4
2
5
，求直线l的倾斜角．
已知椭圆的一个顶点为B（0，-1），焦点在x轴上，若右焦点F到直线x-y+2
2
=0的距离为3．  
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点M、N，直线l的斜率为k（k≠0），当|BM|=|BN|时，求直线l纵截距的取值范围．
（2012•惠州模拟）已知椭圆
x2
a2
+ 
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
3
2
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（-a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且
QA
• 
QB
=4，求y0的值．
已知椭圆
x2
8
+
y2
b2
=1（0＜b＜2
2
）的左、右焦点分别为F1和F2，以F1、F2为直径的圆经过点M（0，b）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且
MA
•
MB
=0．求证：直线l在y轴上的截距为定值．

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