Question

已知椭圆

x2

a2

+y2=1（a＞0）的离心率为

3

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0），若|AB|=

4 2

5

，求直线l的倾斜角．

Answer 1

分析：（1）根据离心率得出3a²=4c²以及c²=a²-b²，求出a、b的值；
（2）由A（-2，0），设B（x₁，y₁），直线l的方程为y=k（x+2），知A、B两点的坐标满足方程组

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，由方程消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，从而y₁=

4k

1+4k2

，再由|AB|=

4 2

5

，求出k的值，即可得到倾斜角．

解答：解：（1）由e=

c

a

=

3

2

，得3a²=4c²．再由c²=a²-b²，解得a=2b=2．
所以椭圆的方程为

x2

4

+y²=1．（4分）
（2）由（1）可知点A的坐标是（-2，0）．设点B的坐标为（x₁，y₁），
直线l的斜率为k．则直线l的方程为y=k（x+2）．
于是A、B两点的坐标满足方程组

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

消去y并整理，
得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，从而y₁=

4k

1+4k2

．（6分）
所以|AB|=

(-2- 2-8k2 1+4k2 )2+( 4k 1+4k2 )  2

=

4 1+k2

1+4k2

．
由|AB|=

4 2

5

，得

4 1+k2

1+4k2

=

4 2

5

整理得32k⁴-9k²-23=0，即（k²-1）（32k²+23）=，解得k=±1．
经检验△＞0符合题意，所以直线l的倾斜角为

π

4

或

3π

4

．（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线问题，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐条件，属于难题．