Question

已知椭圆的一个顶点为B（0，-1），焦点在x轴上，若右焦点F到直线x-y+2

2

=0的距离为3．  
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点M、N，直线l的斜率为k（k≠0），当|BM|=|BN|时，求直线l纵截距的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的一个顶点为B（0，-1），知b=1，由焦点在x轴上，右焦点F到直线x-y+2

2

=0的距离为3，解得c=

2

．由此能求出椭圆方程．  
（2）设P为弦MN的中点，由

y=kx+m x2 3 +y2=1

，得（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0．利用根的判别式和韦达定理，结合题设能求出m的取值范围．

解答：解：（1）∵椭圆的一个顶点为B（0，-1），
∴b=1，
∵焦点在x轴上，∴设右焦点F（c，0），c＞0
∵右焦点F到直线x-y+2

2

=0的距离为3，
∴3=

|c+2 2 |

2

，解得c=

2

．
∴a²=b²+c²=1+2=3，
∴椭圆方程为

x2

3

+y2=1．
（2）设P为弦MN的中点，
由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0．
由△＞0，得m²＜3k²+1  ①，
∴x_P=

xM+xN

2

=-

3mk

3k2+1

，
从而y_P=kx_p+m=

m

3k2+1

．
∴k_BP=-

m+3k2+1

3km

．
由MN⊥BP，得-

m+3k2+1

3km

=-

1

k

，
即2m=3k²+1②．
将②代入①，得2m＞m²，
解得0＜m＜2．由②得k²=

2m-1

3

＞0．
解得m＞

1

2

．故所求m的取值范围为（

1

2

，2）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线的截距的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．