题目内容
已知直线y=kx+1与曲线y=lnx有公共点，则实数k的取值范围是 ．
分析：直线y=kx+1与曲线y=lnx有公共点，等价于方程kx+1=lnx在x＞0时，有解，即k=
有解，构造函数f（x）=
，利用导数求出函数的取值情况，即可求出k的取值范围．
| lnx-1 |
| x |
| lnx-1 |
| x |
解答：解：∵直线y=kx+1与曲线y=lnx有公共点，
∴等价于方程kx+1=lnx在x＞0时，有解，
即k=
有解，
构造函数f（x）=
，
则f'（x）=
=
，
由f'（x）＞0，解得0＜x＜e2，此时函数单调递增，
由f'（x）＜0，解得x＞e2，此时函数单调递减，
∴当x=e2时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值f（e2）=
=
=
，
∴f（x）≤
，
∴k≤
，
即实数k的取值范围是k≤
．
故答案为：k≤
．
∴等价于方程kx+1=lnx在x＞0时，有解，
即k=
| lnx-1 |
| x |
构造函数f（x）=
| lnx-1 |
| x |
则f'（x）=
| ||
| x2 |
| 2-lnx |
| x2 |
由f'（x）＞0，解得0＜x＜e2，此时函数单调递增，
由f'（x）＜0，解得x＞e2，此时函数单调递减，
∴当x=e2时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值f（e2）=
| lne2-1 |
| e2 |
| 2-1 |
| e2 |
| 1 |
| e2 |
∴f（x）≤
| 1 |
| e2 |
∴k≤
| 1 |
| e2 |
即实数k的取值范围是k≤
| 1 |
| e2 |
故答案为：k≤
| 1 |
| e2 |
点评：本题主要考查函数零点的应用，利用条件构造函数，利用导数是解决本题的关键，综合性较强．
练习册系列答案
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（理）已知直线y=kx+1（k∈R）与椭圆
+
=1总有交点，则m的取值范围为（ ）
| x2 |
| 2 |
| y2 |
| m |
| A、（1，2] |
| B、[1，2） |
| C、[1，2）∪[2，+∞） |
| D、（2，+∞） |