题目内容
（2013•东城区二模）已知椭圆
+
=1(a＞b＞0)的离心率e=
，原点到过A（a，0），B（0，-b）两点的直线的距离是
．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线y=kx+1（k≠0）交椭圆于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
4
| ||
| 5 |
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线y=kx+1（k≠0）交椭圆于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的取值范围．
分析：（1）直线AB的方程为：bx-ay-ab=0，利用原点到过A（a，0），B（0，-b）两点的直线的距离是
，可得
=
，利用椭圆
+
=1(a＞b＞0)的离心率e=
，可得
=
，从而可求b2=4，
a2=16，故可求椭圆的方程；
（2）由题意，B（0，-2），设E（x1，y1），F（x2，y2），由E，F在圆上，得x12+（y1+2）2=x22+（y2+2）2，由E，F在直线y=kx+1得y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入可得（1+k2）（x1+x2）（x1-x2）+6k（x1-x2）=0，从而可得x1+x2=-
；将y=kx+1代入
+
=1，得（1+4k2）x2+8kx-12=0，由根与系数的关系，可得x1+x2=-
，从而可求得k的值．
4
| ||
| 5 |
| |ab| | ||
|
4
| ||
| 5 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| a2-b2 |
| a2 |
| 3 |
| 4 |
a2=16，故可求椭圆的方程；
（2）由题意，B（0，-2），设E（x1，y1），F（x2，y2），由E，F在圆上，得x12+（y1+2）2=x22+（y2+2）2，由E，F在直线y=kx+1得y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入可得（1+k2）（x1+x2）（x1-x2）+6k（x1-x2）=0，从而可得x1+x2=-
| 6k |
| 1+k2 |
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 4 |
| 8k |
| 1+4k2 |
解答：解：（1）直线AB的方程为：bx-ay-ab=0
∵原点到过A（a，0），B（0，-b）两点的直线的距离是
．
∴
=
∴a2b2=
(b2+a2)①
∵椭圆
+
=1(a＞b＞0)的离心率e=
，
∴
=
∴a2=4b2②
②代入①，可得b2=4，
∴a2=16
∴椭圆的方程为
+
=1；
（2）由题意，B（0，-2）
设E（x1，y1），F（x2，y2），由E，F在圆上，得x12+（y1+2）2=x22+（y2+2）2…③，
由E，F在直线y=kx+1得y1=kx1+1，y2=kx2+1，
代入③式，可得（1+k2）（x1+x2）（x1-x2）+6k（x1-x2）=0，
因为E，F为直线上不同两点，所以x1≠x2，所以（1+k2）（x1+x2）+6k=0，
即x1+x2=-
④
又由E，F在椭圆上，将y=kx+1代入
+
=1，得（1+4k2）x2+8kx-12=0，
由根与系数的关系，x1+x2=-
…⑤，
将④⑤两式联立求解得k=0（舍）或k=±
，
故k═±
．
∵原点到过A（a，0），B（0，-b）两点的直线的距离是
4
| ||
| 5 |
∴
| |ab| | ||
|
4
| ||
| 5 |
∴a2b2=
| 16 |
| 5 |
∵椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
∴
| a2-b2 |
| a2 |
| 3 |
| 4 |
∴a2=4b2②
②代入①，可得b2=4，
∴a2=16
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 4 |
（2）由题意，B（0，-2）
设E（x1，y1），F（x2，y2），由E，F在圆上，得x12+（y1+2）2=x22+（y2+2）2…③，
由E，F在直线y=kx+1得y1=kx1+1，y2=kx2+1，
代入③式，可得（1+k2）（x1+x2）（x1-x2）+6k（x1-x2）=0，
因为E，F为直线上不同两点，所以x1≠x2，所以（1+k2）（x1+x2）+6k=0，
即x1+x2=-
| 6k |
| 1+k2 |
又由E，F在椭圆上，将y=kx+1代入
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 4 |
由根与系数的关系，x1+x2=-
| 8k |
| 1+4k2 |
将④⑤两式联立求解得k=0（舍）或k=±
| ||
| 4 |
故k═±
| ||
| 4 |
点评：本题考查的重点是椭圆的方程，解题的关键是利用待定系数法，利用根与系数的关系，建立等式关系，属于中档题．
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