Question

已知函数，函数．

⑴当时，函数的图象与函数的图象有公共点，求实数的最大值；

⑵当时，试判断函数的图象与函数的图象的公共点的个数；

⑶函数的图象能否恒在函数的图象的上方？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

⑴,

由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时取最大值，                  ……1分

设切点横坐标为，，

, 即实数的最大值为；             ……4分

  ⑵，

    即原题等价于直线与函数的图象的公共点的个数，         ……5分

，

在递增且，在递减且，

时，无公共点，

时，有一个公共点，

时，有两个公共点；                                       ……9分

  ⑶函数的图象恒在函数的图象的上方，

    即在时恒成立，                                     ……10分

①时图象开口向下，即在时不可能恒成立，

②时，由⑴可得，

时恒成立，时不成立，

③时，

若则，由⑵可得无最小值，故不可能恒成立，

    若则，故恒成立，

    若则，故恒成立，              ……15分

综上，或时

函数的图象恒在函数的图象的上方．