Question

数列{a_n}中，a₁=

1

2

，a_n=1-

1

an-1

1

an-1

（n≥2，n∈N^*），数列{a_n}的前n项和S_n，那么S₂₀₀₅=（　　）

A．1002

B．1002.5

C．1003

D．1003.5

Answer 1

分析：求出数列的前几项，找出数列的规律，周期，即可求解S₂₀₀₅的值．

解答：+解：因为数列{a_n}中，a₁=

1

2

，a_n=1-

1

an-1

1

an-1

（n≥2，n∈N^*），
所以a₁=

1

2

，
a₂=1-

1

a1

=-1，
a₃=1-

1

a2

=2，
a₄=1-

1

a3

=

1

2

，
…
所以，a_n+3=a_n；数列是周期数列，周期为4，
a3n+1+a3n+2+a3n+3+a3n+4= 

1

2

-1+2 +

1

2

=2．
S₂₀₀₅=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₀₅=2×501+

1

2

=1002.5．
故选B．

点评：本题是中档题，考查数列的递推关系式的应用，能够求出数列的周期，是解题的关键，常考题型．