Question

数列{a_n}中，a₁=1，a_n=

1

2

a_n-1+1（n≥2），求通项公式a_n．

Answer 1

分析：在递推式两边同时减2，构造一个新数列，根据新数列的特点，发现它是一个等比数列，写出等比数列的通项，根据新数列和要求数列的关系得到结果．

解答：解：由a_n=

1

2

a_n-1+1，得a_n-2=

1

2

（a_n-1-2）．
令b_n=a_n-2，则b_n-1=a_n-1-2，
∴有b_n=

1

2

b_n-1．
∴b_n=

1

2

b_n-1=

1

2

•

1

2

b_n-2
=

1

2

•

1

2

•

1

2

b_n-3
=

1

2

× 

1

2

 ×

1

2

… ×

1

2

b₁=（

1

2

）^n-1•b₁．
∵a₁=1，∴b₁=a₁-2=-1．
∴b_n=-（

1

2

）^n-1．
∴a_n=2-

1

2n-1

．

点评：解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．