Question

 

已知f(x)=x－ln(－x)，x∈[－e，0），，其中e=2.71828…是自然对数的底数，∈R.

（1）若=－1，求f(x)的极值；             

（2）求证：在（1）的条件下，；

（3）是否存在实数，使f(x)的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：(1)∵f(x)=－x－ln(－x)，f´(x)= －1，

∴当－e＜x＜－1时， f´(x)＜0，此时f(x)单调递减，当－1＜x＜0时，f´(x)＞0，

此时f(x) 单调递增，∴f(x)的极小值为f(－1)=1．

（2）∵f(x)的极小值即f(x)在[－e，0)上的最小值为1，∴| f(x)|_min=1，

令h(x)=g(x)＋， 又∴h´(x)=，∴当－e＜x＜0时， h´(x) ＜0，且h(x)在x=－e处连续

∴h(x)在[－e，0)上单调递减，∴h(x)_max=h(－e)=

∴当x[－e，0)时，

（3）假设存在实数a，使f(x)=x－ln(－x)有最小值3，[－e，0)， f´(x)=，

①当≥时， 由于（－e，0)， 则f´(x)=a 且f(x) 在x=－e处连续

∴函数f(x)=ax－ln(－x)是[－e，0)上的增函数，∴f(x)_min=f(－e)= －ae－1=3，

解得a=（舍去）.

②当＜时， 则当－e＜x＜时，f´(x)= 此时f(x)=ax－ln(－x) 是减函数，

当时，f´(x)=a 此时f(x)=ax－ln(－x) 是增函数，

∴f(x)_min=f()=1－ln()=3，解得a=－e².

    由①、②知，存在实数a=－e²，使得当 [－e，0]，时f(x)有最小值3.