Question

已知f 1(x)=|3x-1|，f2(x)=|a•3x-9|(a＞0)，x∈R，且f（x）=

f1(x)，f1(x)≤f2(x) f2(x)，f1(x)＞f2(x)

（1）当a=1时，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，若方程f（x）-m=0有4个不等的实根，求实数m的范围；
（3）当2≤a＜9时，设f（x）=f₂（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求l的最大值．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，根据函数f₁（x）和函数f₂（x）的解析式以及条件f（x）=

f1(x)，f1(x)≤f2(x) f2(x)，f1(x)＞f2(x)

可得f（x）的解析式．
（2）在（1）的条件下，由题意可得，函数y=f（x）与直线y=m有4个不同的交点，数形结合可得实数m的范围．
（3）由于2≤a＜9，分 x≥log3

9

a

时、当0≤x≤log3

9

a

时、当x＜0时，分别由 f₂（x）-f₁（x）≤0 求得x的范围，再把所得的x的范围取并集，从而得到区间长度l的解析式，
再根据函数的单调性求得l的最大值．

解答：解：（1）当a=1时，f₁（x）=

3x-1 ，  x≥0 1-3x ， x ＜0

，f₂（x）=

3x-9 ，  x≥2 9-3x ， x ＜2

，∴当x=log₃5时，f₁（x）=f₂（x）．
∴f（x）=

3x-9 ，  x≥2 9-3x ， log35＜x ＜2 3x-1  ， 0≤x＜log35 1-3x ， x＜0

．
（2）在（1）的条件下，若方程f（x）-m=0有4个不等的实根，则函数y=f（x）与直线y=m有4个不同的交点．
数形结合可得，0＜m＜1，故实数m的范围是（0，1）．
（3）由于2≤a＜9，当 x≥log3

9

a

时，∵a•3^x-9≥0，3^x-1＞0，
∴由 f₂（x）-f₁（x）=（a•3^x-9）-（ 3^x-1）≤0 可得 x≤log3

8

a-1

，
从而当log3

9

a

≤x≤log3

8

a-1

时，f（x）=f₂（x）．
当0≤x≤log3

9

a

时，∵a•3^x-9＜0，3^x-1≥0，
∴由 f₂（x）-f₁（x）=-（a•3^x-9）-（ 3^x-1）=10-（a+1）3^x≤0 解得 x≥log3

10

a+1

，
从而当 log3

10

a+1

≤x≤log3

9

a

时，f（x）=f₂（x）．
当x＜0时，由 f₂（x）-f₁（x）=-（a•3^x-9）-（1-3^x）=8-（a-1）3^x＞0，故f（x）=f₂（x） 一定不成立．
综上可得，当且仅当 x∈[log3

10

a+1

，log3

8

a-1

]时，有f（x）=f₂（x） 一定成立．
故 l=log3

8

a-1

-log3

10

a+1

=log3[

4

5

( 1+

2

a-1

)]，
从而当a=2时，l取得最大值为 log3

12

5

．

点评：本题主要考查对数函数、指数函数的图象和性质综合应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．