题目内容

已知f(x)=ax-
1x
,g(x)=lnx,(x>0,a∈R是常数).
(1)求曲线y=g(x)在点P(1,g(1))处的切线l.
(2)是否存在常数a,使l也是曲线y=f(x)的一条切线.若存在,求a的值;若不存在,简要说明理由.
(3)设F(x)=f(x)-g(x),讨论函数F(x)的单调性.
分析:(1)把x=1代入到g(x)解析式中求出g(1)的值,得到切点的坐标,然后求出g(x)的导函数,把x=1代入导函数求出对应导函数的函数即为切线的斜率,根据切点坐标和求出的斜率写出切线方程即可;
(2)根据f(x)的解析式求出f(x)的导函数,因为直线l也为曲线y=f(x)的一条切线,把x=x0代入到导函数中求出的函数值为直线l的斜率即为1,得到一个关系式,把切点的横坐标代入直线l的方程求出纵坐标,再把切点的横坐标代入到f(x)求出纵坐标,两者相等得到另一个关系式,把两个关系式联立即可求出切点的横坐标和a的值,所以存在常数a,使l也是曲线f(x)的切线;
(3)把f(x)和g(x)代入到F(x)=f(x)-g(x)中,求出F(x)的导函数,利用a的范围a大于等于
1
4
,a=0,a大于0小于
1
4
,a小于0,四种情况讨论导函数的正负即可得到函数F(x)的增减区间.
解答:解:(1)g(1)=0,所以P的坐标为(1,0),
g′(x)=
1
x
,则切线的斜率k=g′(1)=1,
所以直线l的方程为y-0=1(x-1),化简得y=x-1;
(2)由f(x)=ax-
1
x
,得f′(x)=a+
1
x2

设y=f(x)在x=x0处的切线为l,
则有
ax0-
1
x0
=x0-1
a+
1
x02
=1
,解得
x0=2
a=
3
4

即当a=
3
4
时,l是曲线y=f(x)在点Q(2,1)的切线;
(3)F′(x)=a+
1
x2
-
1
x
=a+(
1
x
-
1
2
)
2
-
1
4

a≥
1
4
a-
1
4
≥0
时,F′(x)≥0,F(x)在(0,+∞)单调递增;
当a=0时,F′(x)=
1
x2
-
1
x
=
1-x
x2
,F(x)在(0,1]单调递增,在(1,+∞)单调递减;
0<a<
1
4
时,解F′(x)=0得x1=
1-
1-4a
2a
x2=
1+
1-4a
2a

F(x)在(0,x1]和(x2,+∞)单调递增,在(x1,x2]单调递减;
当a<0时,解F′(x)=0得x1=
1-
1-4a
2a
>0
x2=
1+
1-4a
2a
<0
(x2舍去),
F(x)在(0,x1]单调递增,在(x1,+∞)单调递减.
点评:此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导函数的正负判断函数的增减性,是一道综合题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网