题目内容
已知f(x)=
,曲线y=f(x)与直线l:4x+3y-5=0切于点A的横坐标为2,g(x)=2x-
.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若对于一切x∈[2,5],总存在x1∈[m,n],使f(x)=g(x1)成立,求n-m的最小值.
a(x-1)2 |
2x+b |
1 |
3 |
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若对于一切x∈[2,5],总存在x1∈[m,n],使f(x)=g(x1)成立,求n-m的最小值.
分析:(1)求出导函数,利用f(2)=-1,f′(2)=-
,即可求函数f(x)的解析式;
(2)求导函数,令f′(x)=
>0,可得函数的递增区间;令f′(x)<0,可得单调递减区间;
(3)对于一切x∈[2,5],函数f(x)单调递减,可得-
≤f(x)≤-1,要使总存在x1∈[m,n],使f(x)=g(x1)成立,则2m-
≤-
,2n-
≥-1,由此可求n-m的最小值.
4 |
3 |
(2)求导函数,令f′(x)=
6x(x-1) |
(2x-1)2 |
(3)对于一切x∈[2,5],函数f(x)单调递减,可得-
16 |
3 |
1 |
3 |
16 |
3 |
1 |
3 |
解答:解:(1)由题意,f(2)=-1,f′(2)=-
∵f(x)=
,
∴f′(x)=
∴
=-1,
=-
解得a=-3,b=-1,
∴f(x)=-
(2)∵f(x)=-
,∴f′(x)=
,x≠
令f′(x)=
>0,可得0<x<
,或
<x<1;令f′(x)<0,可得x<0或x>1;
∴函数的递增区间为(0,
),(
,1),单调递减区间为(-∞,0),(1,+∞)
(3)对于一切x∈[2,5],函数f(x)单调递减,所以-
≤f(x)≤-1
g(x)=2x-
,要使总存在x1∈[m,n],使f(x)=g(x1)成立,则2m-
≤-
,2n-
≥-1
∴m≤-
,n≥-
∴n-m≥
当m=-
,n=-
时,n-m的最小值为
.
4 |
3 |
∵f(x)=
a(x-1)2 |
2x+b |
∴f′(x)=
2a(x+b+1)(x-1) |
(2x+b)2 |
∴
a |
4+b |
2a(b+3) |
(4+b)2 |
4 |
3 |
解得a=-3,b=-1,
∴f(x)=-
3(x-1)2 |
2x-1 |
(2)∵f(x)=-
3(x-1)2 |
2x-1 |
6x(x-1) |
(2x-1)2 |
1 |
2 |
令f′(x)=
6x(x-1) |
(2x-1)2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴函数的递增区间为(0,
1 |
2 |
1 |
2 |
(3)对于一切x∈[2,5],函数f(x)单调递减,所以-
16 |
3 |
g(x)=2x-
1 |
3 |
1 |
3 |
16 |
3 |
1 |
3 |
∴m≤-
5 |
2 |
1 |
3 |
∴n-m≥
13 |
6 |
当m=-
5 |
2 |
1 |
3 |
13 |
6 |
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查存在性问题,正确求导,确定函数的单调性是关键.

练习册系列答案
相关题目