题目内容

已知f(x)=
a(x-1)2
2x+b
,曲线y=f(x)
与直线l:4x+3y-5=0切于点A的横坐标为2,g(x)=2x-
1
3

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若对于一切x∈[2,5],总存在x1∈[m,n],使f(x)=g(x1)成立,求n-m的最小值.
分析:(1)求出导函数,利用f(2)=-1,f′(2)=-
4
3
,即可求函数f(x)的解析式;
(2)求导函数,令f′(x)=
6x(x-1)
(2x-1)2
0,可得函数的递增区间;令f′(x)<0,可得单调递减区间;
(3)对于一切x∈[2,5],函数f(x)单调递减,可得-
16
3
≤f(x)≤-1
,要使总存在x1∈[m,n],使f(x)=g(x1)成立,则2m-
1
3
≤-
16
3
,2n-
1
3
≥-1
,由此可求n-m的最小值.
解答:解:(1)由题意,f(2)=-1,f′(2)=-
4
3

f(x)=
a(x-1)2
2x+b

f′(x)=
2a(x+b+1)(x-1)
(2x+b)2

a
4+b
=-1
2a(b+3)
(4+b)2
=-
4
3

解得a=-3,b=-1,
f(x)=-
3(x-1)2
2x-1

(2)∵f(x)=-
3(x-1)2
2x-1
,∴f′(x)=
6x(x-1)
(2x-1)2
,x≠
1
2

f′(x)=
6x(x-1)
(2x-1)2
0,可得0<x<
1
2
,或
1
2
<x<1
;令f′(x)<0,可得x<0或x>1;
∴函数的递增区间为(0,
1
2
),(
1
2
,1),单调递减区间为(-∞,0),(1,+∞)
(3)对于一切x∈[2,5],函数f(x)单调递减,所以-
16
3
≤f(x)≤-1

g(x)=2x-
1
3
,要使总存在x1∈[m,n],使f(x)=g(x1)成立,则2m-
1
3
≤-
16
3
,2n-
1
3
≥-1

m≤-
5
2
,n≥-
1
3

n-m≥
13
6

m=-
5
2
,n=-
1
3
时,n-m的最小值为
13
6
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查存在性问题,正确求导,确定函数的单调性是关键.
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