Question

如图，在四棱锥中，底面，
，，是的中点．

（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；
（Ⅱ）证明平面；
（Ⅲ）求二面角的正弦值．

Answer 1

（1）（2）要证明线面垂直关键里用线面垂直的判定定理来得到证明。
（3）

试题分析：（Ⅰ）解：在四棱锥中，因底面，平面，故．又，，从而平面．
故在平面内的射影为，
从而为和平面所成的角．
在中，，故．
所以和平面所成的角的大小为．
（Ⅱ）证明：在四棱锥中，
因底面，平面，故．
由条件，，面．又面，．
由，，可得．是的中点，，
．综上得平面．
（Ⅲ）解：过点作，垂足为，连结．由（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．由已知，得．设，得
，，，．
在中，，，则
．在中，
点评：解决的关键是熟练的根据角的定义，作出角，并能证明，同时结合三角形来解得，属于基础题。