Question

已知两个等比数列{a_n}，{b_n}，满足a₁＝a(a＞0)，b₁－a₁＝1，b₂－a₂＝2，

b₃－a₃＝3.

(1)若a＝1，求数列{a_n}的通项公式；

(2)若数列{a_n}唯一，求a的值．

Answer 1

解析　(1)设数列{a_n}的公比为q，则b₁＝1＋a＝2，b₂＝2＋aq＝2＋q，b₃＝3＋aq²＝3＋q²，由b₁，b₂，b₃成等比数列得(2＋q)²＝2(3＋q²)．

即q²－4q＋2＝0，解得q₁＝2＋，q₂＝2－.

所以数列{a_n}的通项公式为a_n＝(2＋)^n－1或a_n＝(2－)^n－1.

(2)设数列{a_n}的公比为q，则由(2＋aq)²＝(1＋a)(3＋aq²)，得aq²－4aq＋3a－1＝0(*)，

由a＞0得Δ＝4a²＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．

由数列{a_n}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝.