Question

已知数列{a_n}满足an+1=

an

3-2an

，a1=

1

4

．
（1）令bn=

1

an

-1(n∈N+)  求数列{b_n}的通项公式；
（2）求满足am+am+1+…+a2m-1＜

1

150

的最小正整数m的值．

Answer 1

分析：（1）对an+1=

an

3-2an

，两边取倒数即可转化为一个等比数列，进而得到答案；
（2）利用（1）的结论，再进行适当放缩后利用等比数列的前n项和的计算公式即可得出．

解答：解：（1）由an+1=

an

3-2an

，两边取倒数得

1

an+1

=

3

an

-2，
∴

1

an+1

-1=3(

1

an

-1)，
∵

1

a1

-1=

1

1 4

-1=3≠0，
∴数列{

1

an

-1}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴

1

an

-1=3×3n-1=3n，
bn=3n(n∈N*)．
（20由（1）可知：an=

1

3n+1

(n∈N*)．
∴a_m+a_m+1+…+a_2m-1=

1

3m+1

+

1

3m+1+1

+…+

1

32m-1+1

＜

1

3m

+

1

3m+1

+…+

1

32m-1

=

1

3m

×

1- 1 3m

1- 1 3

=

1

2×3m-1

(1-

1

3m

)
＜

1

2×3m-1

，
令

1

2×3m-1

≤

1

150

，解得m≥5．
故所求m的最小值为5．

点评：对于形如an+1=

an

3-2an

，两边“取倒数”即可转化为一个等比数列求通项问题、“适当放缩”利用等比数列的前n项和的计算公式是解题的关键．