Question

如图,已知正四棱柱?ABCD—A₁B₁C₁D₁底面边长为1,点E在棱AA₁上,A₁C∥平面EBD,截面EBD的面积为.

(1)求A₁C与底面ABCD所成角的大小;

(2)若AC与BD的交点为M,点T在CC₁上,且MT⊥BE,求MT的长.

Answer 1

解:如图,连结A₁C₁、EM,(1)∵A₁C∥平面EBD,平面A₁CA∩平面EBD=EM,

∴A₁C∥EM.又M为AC的中点,故E为AA₁的中点,

∴S_△EBD=ME=ME=1.

∵AA₁⊥底面ABCD,

∴∠A₁CA为A₁C与底面ABCD所成的角.

在△A₁CA中,A₁C=2,AC=,

∴cos∠A₁CA=.

∴A₁C与底面ABCD所成的角为45°.

(2)∵BD⊥平面AA₁C₁C,∴MT⊥BD.

又MT⊥BE,∴MT⊥平面EBD.∴MT⊥EM.

在正方形AA₁C₁C中,∵∠EMA=45°,

∴∠TMC=45°.∴CT=MC=,MT=1.