Question

（2006•崇文区二模）如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为 2

2

，侧棱长为4，点E、F分别是棱AB、BC中点，EF与BD相交于G．
（Ⅰ）求异面直线D₁E和DC所成的角；
（Ⅱ）求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅲ）求点D₁到平面B₁EF的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在正四棱柱中，异面直线D₁E和DC所成的角，即D₁E和AB所成的角，然后通过解直角三角形求解；
（Ⅱ）证平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，只需证明EF垂直于平面BDD₁B₁，由正四棱柱的性质即可证明；
（Ⅲ）求点D₁到平面B₁EF的距离，根据（Ⅱ）中证出的平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，只要过D₁作交线B₁G的垂线就得到点到面的距离，然后通过借直角三角形求解．

解答：证明（Ⅰ）连结AD₁．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是正四棱柱，
∴AA₁⊥平面ABCD．
∴平面ADD₁A₁⊥平面ABCD．
又AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADD₁A₁．
∴AB⊥AD₁．
由已知AD=2

2

，DD₁=4，
∴AD₁=

AD2+DD12

=

(2 2 )2+42

=2

6

．
而AE=

2

，
∴tan∠ADE₁=

AD1

AE

=

2 6

2

=2

3

．
∵CD∥AB．
∴DC与D₁E所成的角就是AB与D₁E所成的角，即∠D₁EA．
∴直线DC与D₁E所成的角为arctan2

3

；
（Ⅱ） 连结AC，由已知，EF∥AC，AC⊥BD．
D₁C交C₁ D于E，连AE．
∴EF⊥BD．
又BB₁⊥EF，且BD∩B₁B=B．
∴EF⊥平面BDD₁B₁．
∵EE?平面EFB₁．
∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅲ）连接B₁G，作D₁H⊥B₁G，H为垂足．
由于平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，B₁G为交线，
∴D₁H⊥平面 B₁EF．D₁H的长是点D₁到平面B₁EF的距离．
在Rt△D₁B₁H中，D₁H=D₁B₁•sina∠D₁B₁H．
∵D₁B₁=

2

A₁B₁=

2

•2

2

=4，sin∠D₁B₁H=sina∠B₁GB=

4

17

，
∴D₁H=

16

17

=

16 17

17

．
∴点D₁到平面B₁EF的距离为

16 17

17

．

点评：本题考查了异面直线所成的角，考查了面与面的垂直，考查了点到面距离的求法，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．