Question

如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB=2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交B₁C于点F．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A₁B与平面BDE所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，可得D、A、B、C、A₁、B₁、
C₁、D₁各点的坐标，进而得到向量

A1C

、

BD

的坐标．设E（0，2，t），由

BE

•

B1C

=0解出t=1，得到

BE

的坐标，由此得到

A1C

•

BE

=0且

A1C

•

DB

=0，从而得到

A1C

⊥

DB

且

A1C

⊥

BE

，结合线面垂直判定定理可得A₁C⊥平面BED；
（II）根据

A1C

是平面BDE的一个法向量，由空间向量的夹角公式算出

A1C

、

A1B

夹角的余弦，结合空间直线与平面所成角的定义，可得这个余弦值即为A₁B与平面BDE所成的角的正弦值．

解答：解：（ I）如图，以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，可得
D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4）…（2分）
设E（0，2，t），则

BE

=(-2，0，t)，

B1C

=(-2，0，-4)．
∵BE⊥B₁C，
∴可得

BE

•

B1C

=4+0-4t=0．解之得t=1，
∴E（0，2，1），且

BE

=(-2，0，1)．
又∵

A1C

=(-2，2，-4)，

DB

=(2，2，0)，…（4分）
∴

A1C

•

BE

=4+0-4=0
且

A1C

•

DB

=-4+4+0=0…（6分）
∴

A1C

⊥

DB

且

A1C

⊥

BE

．
∵BD、BE是平面BDE内的相交直线．
∴

A1C

⊥平面BDE…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）所建的坐标系，得

A1C

=(-2，2，-4)是平面BDE的一个法向量，
又∵

A1B

=(0，2，-4)，
∴cos＜

A1C

，

A1B

＞=

A1C • A1B

| A1C || A1B |

=

30

6

，
因此，可得A₁B与平面BDE所成角的正弦值为

30

6

…（12分）

点评：本题给出正四棱柱，求证线面垂直并求直线与平面所成角的正弦值，着重考查了利用空间向量研究线面垂直、用空间向量的夹角公式求直线与平面所成角等知识，属于中档题．