Question

（2013•浦东新区二模）如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长是2，体积是16，M，N分别是棱BB₁、B₁C₁的中点．
（1）求异面直线MN与A₁C₁所成角的大小（结果用反三角表示）；
（2）求过A₁，B，C₁的平面与该正四棱柱所截得的多面体A₁C₁D₁-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线定理、勾股定理、异面直线所成的角的定义即可得出；
（2）先计算出三棱锥B-A₁B₁C₁体积，即可得出要求的体积．

解答：解：（1）由题意得16=2²×B₁B，∴B₁B=4．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=

22+22

=2

2

=A₁C₁．
同理可得BC1=BA1=

22+42

=2

5

．
连接BC₁，∵M，N分别是棱BB₁、B₁C₁的中点，∴BC₁∥MN，
∴∠A₁C₁B或其补角是异面直线MN与A₁C₁所成的角．
连接BA₁，在△A₁BC₁中，由余弦定理得cos∠A₁C₁B=

(2 2 )2+(2 5 )2-(2 5 )2

2×2 2 ×2 5

=

10

10

．
∴异面直线MN与A₁C₁所成的角为arccos

10

10

．
（2）∵VB-A1B1C1=

1

3

×

1

2

×2×2×4=

8

3

；
∴VA1C1D1-ABCD=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=16-

8

3

=

40

3

，
∴多面体A₁C₁D₁-ABCD的体积为

40

3

．

点评：熟练掌握三角形的中位线定理、勾股定理、异面直线所成的角的定义及三棱锥的体积是解题的关键．