Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．

(1) 求证：A、C、T三点共线；

(2) 如果，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标．

Answer 1

 (1) 证明：设椭圆方程为＝1(a＞b＞0) ①，则A(0，b)，B(0，－b)，T.

AT：＝1 ②，BF：＋＝1 ③，解得交点C，

代入①得＝1，满足①式，则C点在椭圆上，即A、C、T三点共线．

(2) 解：过C作CE⊥x轴，垂足为E，

则△OBF∽△ECF.

∵，CE＝b，EF＝c，则C，代入①得＝1，∴ a²＝2c²，b²＝c².设P(x₀，y₀)，则x₀＋2y＝2c².此时C，AC＝ c，S_△ABC＝·2c·＝c²，

直线AC的方程为x＋2y－2c＝0，P到直线AC的距离为d＝

S_△APC＝d·AC＝··c.只须求x₀＋2y₀的最大值，

(解法1)∵ (x₀＋2y₀)²＝x＋4y＋2·2x₀y₀≤x＋4y＋2(x＋y)＝3(x＋2y)＝6c²，∴ x₀＋2y₀≤c.当且仅当x₀＝y₀＝c时，(x₀＋2y₀)_max＝c.

(解法2)令x₀＋2y₀＝t，代入x＋2y＝2c²得(t－2y₀)²＋2y－2c²＝0，即6y－4ty₀＋t²－2c²＝0.Δ＝(－4t)²－24(t²－2c²)≥0，得t≤c.当t＝c，代入原方程解得x₀＝y₀＝c.

∴ 四边形的面积最大值为，∴ c²＝1，a²＝2，b²＝1，此时椭圆方程为＋y²＝1.P点坐标为.