Question

11．若关于x的不等式ax²-4x+4a＞0在x＞0时恒成立，则实数a的取值范围是（1，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意，ax²-4x+4a＞0可以变形为a＞$\frac{4x}{{x}^{2}+4}$，令t=$\frac{4x}{{x}^{2}+4}$，分析可得不等式ax²-4x+4a＞0在x＞0时恒成立，需要保证a大于t=$\frac{4x}{{x}^{2}+4}$（x＞0）的最大值即可，由基本不等式的性质分析可得t的最大值，即可得a的取值范围．

解答 解：根据题意，由ax²-4x+4a＞0可得a（x²+4）＞4x，
又由x²+4＞0，则其可以变形为a＞$\frac{4x}{{x}^{2}+4}$，
令t=$\frac{4x}{{x}^{2}+4}$，要使不等式ax²-4x+4a＞0在x＞0时恒成立，
需要保证a大于t=$\frac{4x}{{x}^{2}+4}$（x＞0）的最大值即可，
而t=$\frac{4x}{{x}^{2}+4}$=$\frac{4}{x+\frac{4}{x}}$，
而x+$\frac{4}{x}$≥4，（x=2时等号成立），则t≤$\frac{4}{4}$=1，
即t=$\frac{4x}{{x}^{2}+4}$的最大值为1，
故a＞1时，不等式ax²-4x+4a＞0在x＞0时恒成立，
故答案为：（1，+∞）..

点评 本题考查函数恒成立问题，解题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值问题．．