Question

【题目】在数列{an}中， ， ， ，其中n∈N* ．
（1）求证：数列{bn}为等差数列；
（2）设cn=bnbn+1cosnπ，n∈N* ， 数列{cn}的前n项和为Tn ， 若当n∈N*且n为偶数时， 恒成立，求实数t的取值范围；
（3）设数列{an}的前n项的和为Sn ， 试求数列{S2n﹣Sn}的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ ，

∴ ，

∴数列{bn}是公差为1的等差数列

（2）解：由（1）可知， ，故bn=n．

因为 ，

所以Tn=c1+c2+…+cn= ，

当n∈N*且n为偶数时，设n=2m，m∈N*，

则 =b2（﹣b1+b3）+b4（﹣b3+b5）+…+b2m（﹣b2m﹣1+b2m+1）=2（b2+b4+…+b2m）=4（1+2+…+m）= ，

要使 对n∈N*且n为偶数恒成立，

只要使 对n∈N*且n为偶数恒成立，

即使 对n为正偶数恒成立，∵ ，

∴t≥1，故实数t的取值范围是[1，+∞）

（3）解：由（1）得 ，∴ ，∴ ，

∴ ，

设 ，

∴ ，

∴ = ，

∴当n=1时， ，即M1＜M2，

当n≥2时，Mn+1﹣Mn＜0，即M2＞M3＞M4＞…，∴ ，

因此数列{S2n﹣Sn}的最大值为

【解析】（1）根据题意，由数列的递推关系式得出bn+1与an的关系式，由等差数列的定义分析可得答案，（2）根据题意求出数列{cn}的前n项和为Tn的表达式，当n∈N*且n为偶数时，设n=2m，m∈N*，求出Tn的表达式，分析可得答案，（3）由（2）的结论求出S2n、Sn，即可得{S2n﹣Sn}的表达式，设M n = S 2 n S n，分析不难得出答案.
【考点精析】通过灵活运用数列的通项公式，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．