题目内容

20．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺，容纳米2000斛（1丈=10尺，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底面周长约为（　　）
A．1丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48丈6尺

分析 设圆锥的底面半径为r，由题意和圆柱的体积公式列出方程，求出r，由圆的周长公式求出圆柱底面周长．

解答 解：设圆锥的底面半径为r，
由题意得，πr2×13=2000×1.62，解得r≈9（尺），
所以圆柱底面周长c=2πr≈54（尺）=5丈4尺，
故选：B．

点评 本题考查圆柱的体积公式，圆的周长公式的实际应用，以及方程思想，注意单位的转换，属于基础题．

练习册系列答案
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10．已知函数f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax（a∈R）．
（1）a=0时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）a＜0时，求f（x）的单调区间；
（3）当-3＜a＜-2时，若存在λ1，λ2∈[1，3]，使不等式|f（λ1）-f（λ2）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，求m的取值范围．
11．已知直角坐标系xOy中，点A（1，1），M（x，y）为平面区域$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{x≤1}\\{y≤2}\end{array}}\right.$内的一个动点，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OM}$的最大值为（　　）
A．4B．3C．2D．1
8．函数f（x）=3sinxcosx的最小正周期为π．
15．在数列a0，a1，a2，…，an，…中，已知a0=a1=1，a2=3，an=3an-1-an-2-2an-3（n≥3）．
（1）求a3，a4；
（2）证明：an＞2n-1（n≥2）．
5．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x2，g（x）=alnx．
（1）若曲线y=f（x）-g（x）在x=1处的切线的方程为6x-2y-5=0，求实数a的值；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有$\frac{{h（{x_1}）-h（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞2恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+$\frac{1}{{f'（{x_0}）}}$＜g（x0）-g′（x0）成立，求实数a的取值范围．
12．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是30．
9．已知函数f（x）=x3的图象为曲线C，给出以下四个命题：
①若点M在曲线C上，过点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条；
②对于曲线C上任意一点P（x1，y1）（x1≠0），在曲线C上总可以找到一点Q（x2，y2），使x1和x2的等差中项是同一个常数；
③设函数g（x）=|f（x）-2sin2x|，则g（x）的最小值是0；
④若f（x+a）≤8f（x）在区间[1，2]上恒成立，则a的最大值是2．
其中所有正确命题的序号是②③．
10．如图，一个角形海湾AOB，∠AOB=2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l（l为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：
方案一 如图1，围成扇形养殖区OPQ，其中$\widehat{PQ}$=l； 
方案二 如图2，围成三角形养殖区OCD，其中CD=l；
（1）求方案一中养殖区的面积S1；
（2）求证：方案二中养殖区的最大面积S2=$\frac{{l}^{2}}{4tanθ}$；
（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．

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