Question

10．如图，一个角形海湾AOB，∠AOB=2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l（l为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：
方案一 如图1，围成扇形养殖区OPQ，其中$\widehat{PQ}$=l； 
方案二 如图2，围成三角形养殖区OCD，其中CD=l；
（1）求方案一中养殖区的面积S₁；
（2）求证：方案二中养殖区的最大面积S₂=$\frac{{l}^{2}}{4tanθ}$；
（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）方案一：设此扇形所在的圆的半径为r，则l=r•2θ，可得r=$\frac{l}{2θ}$．利用扇形面积计算公式可得S₁．
（2）设OC=x，OD=y，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：l²=x²+y²-2xycos2θ≥2xy-2xycos2θ，可得：xy≤$\frac{{l}^{2}}{4si{n}^{2}θ}$，即可得出．
（3）$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{tanθ}{θ}$，令f（θ）=tanθ-θ，求导，可得f（θ）在$（0，\frac{π}{2}）$上单调递增．令tanθ₀=θ₀∈$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$．对θ与θ₀的大小关系分类讨论即可得出．

解答 解：（1）方案一：设此扇形所在的圆的半径为r，则l=r•2θ，∴r=$\frac{l}{2θ}$．
∴S₁=$\frac{1}{2}×l×\frac{l}{2θ}$=$\frac{{l}^{2}}{4θ}$．
证明：（2）设OC=x，OD=y，
则l²=x²+y²-2xycos2θ≥2xy-2xycos2θ，
可得：xy≤$\frac{{l}^{2}}{4si{n}^{2}θ}$，当且仅当x=y时取等号．
∴养殖区的最大面积S₂=$\frac{1}{2}×\frac{{l}^{2}}{4si{n}^{2}θ}$×sin2θ=$\frac{{l}^{2}}{4tanθ}$；
解：（3）$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{tanθ}{θ}$，
令f（θ）=tanθ-θ，则f′（θ）=sec²θ-1=tan²θ＞0，
∴f（θ）在$（0，\frac{π}{2}）$上单调递增．令tanθ₀=θ₀∈$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$．
当θ∈$（{θ}_{0}，\frac{π}{2}）$时，选取方案一；
当θ=θ₀时，选取方案一或二都可以；
当θ∈（0，θ₀）时，选取方案二．

点评 本题考查了扇形的面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．