Question

【题目】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD． （Ⅰ）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；
（Ⅱ）若DE=A1E，试求二面角E﹣A1C﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）依题意 ， ∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°，
∵ ，
∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，∴DE⊥AE，
∵AA1⊥平面ABCD，DE平面ABCD，
∴DE⊥AA1 ， ∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE，
∵DE平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．
解：（Ⅱ）连接AC，由题可知AC⊥CD，又DE=A1E，故
故以C为原点，CD，CA，CC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），
D（1，0，0），E（﹣ ， ，0），A1（0， ），
故 =（﹣ ， ，0）， =（0， ）， =（1，0，0），
设面EA1C的一个法向量 =（x1 ， y1 ， z1），则 ，即 ，
令 ，则 =（ ），
设平面DA1C的一个法向量 =（a，b，c），
则 ，取b=﹣ ，得 =（0，﹣ ， ），
故cos＜ ＞= = ，
由图可知二面角E﹣A1C﹣D为钝角，∴二面角E﹣A1C﹣D的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）依题意推导出△ABE是正三角形，DE⊥AE，DE⊥AA1 ， 从而DE⊥平面A1AE，由此能证明平面A1AE⊥平面A1DE．（Ⅱ）以C为原点，CD，CA，CC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣A1C﹣D的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．