Question

【题目】△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知向量 =（cosA，sinA）， =（cosB，﹣sinB），且| ﹣ |=1．
（1）求角C的度数；
（2）若c=3，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =（cosA，sinA）， =（cosB，﹣sinB），

∴ =（cosA﹣cosB，sinA+sinB），

又| ﹣ |=1．

∴ =1，

化为2﹣2cos（A+B）=1，

∴cosC=﹣ ，

∵C∈（0，π），

∴C= ．

（2）解：当c=3时，c2=a2+b2﹣2abcosC，

∴9≥2ab﹣2ab× ，∴ab≤3，

∴S= ab ，

当且仅当a=b= 时取等号．

∴△ABC面积的最大值为 ．

【解析】（1）利用向量的坐标运算与模的计算公式可得： =1，利用两角和差的余弦公式、同角三角函数基本关系式化为2﹣2cos（A+B）=1，即可得出．（2）当c=3时，利用余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，再利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．
【考点精析】本题主要考查了余弦定理的定义的相关知识点，需要掌握余弦定理:;;才能正确解答此题．