Question

已知三点A（1，3），B（-1，-1），C（2，1），直线l平行于BC，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ的面积是△ABC面积的

1

9

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：先求出直线BC的方程，由三角形面积间的关系求出直线l与直线BC之间的距离，由直线l平行于BC，设出
直线l的方程，再利用两平行线间的距离公式求出待定系数，从而得到直线l的方程．

解答：解：过A点作BC边的高AE，交PQ于点F，因为l∥BC，所以kl=kBC=

2

3

，
∵

S△APQ

S△ABC

=

1

9

，∴

AF

AE

=

1

3

．
由于直线BC的方程为2x-3y-1=0，所以|AE|=

|2×1-3×3-1|

4+9

=

8 13

13

，所以|AF|=

8 13

39

，
所以|EF|=|AE|-|AF|=

16 13

39

设直线l的方程为y=

2

3

x+b，即2x-3y+3b=0，
因为两条平行线间的距离为

16 13

39

，∴

|3b-(-1)|

4+9

=

16 13

39

，
解得b=

13

9

或b=-

19

9

（舍去），
所以直线l的方程是y=

2

3

x+

13

9

，即6x-9y+13=0．

点评：本题考查直线的点斜式方程，两平行线间的距离公式，用到顶系数法求直线的方程的方法是一种常用的
重要方法，属于基础题．