Question

已知函数f （x）=lnx，g（x）=e^x．
（I）若函数φ （x） = f （x）－，求函数φ （x）的单调区间；
（Ⅱ）设直线l为函数的图象上一点A（x₀，f （x₀））处的切线．证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直线l与曲线y=g（x）相切．

Answer 1

（1）增区间为；（2）见解析.

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
解：（Ⅰ） ，
．             2分
∵且，
∴
∴函数的单调递增区间为．   4分
（Ⅱ）∵ ，∴，
∴ 切线的方程为,
即,  ①             6分
设直线与曲线相切于点，
∵，∴，∴．      8分
∴直线也为，
即， ②                 9分
由①②得 ，
∴．          11分
下证：在区间（1，+）上存在且唯一．
由（Ⅰ）可知，在区间上递增．
又，，          13分
结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一．                  
故结论成立． 14分