已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.右焦点到右准线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．(1)求椭圆C的方程(2)如图.点M.N为椭圆上相异的两点.其中点M在第一象限.且直线AM与直线BN的斜率互为相反数．①证明:直线MN的斜率为常数②求四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．

已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右焦点到右准线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程
（2）如图，点M，N为椭圆上相异的两点，其中点M在第一象限，且直线AM与直线BN的斜率互为相反数．
①证明：直线MN的斜率为常数
②求四边形AMBN面积S的取值范围．

分析（1）通过椭圆右焦点到右准线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$可知$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，并与e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$联立可求出a=2、c=$\sqrt{3}$，进而可得椭圆方程；
（2）通过（1）可知A（2，0）、B（0，1），直线直线BN，AM的斜率均存在且不为0．①通过设直线AM的方程为x=my+2，则直线BN的方程为x=-my+m，并分别与椭圆方程联立，计算可求出M（$\frac{8-2{m}^{2}}{4+{m}^{2}}$，-$\frac{4m}{4+{m}^{2}}$）、N（$\frac{8m}{4+{m}^{2}}$，$\frac{{m}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$），进而计算即得结论；②通过椭圆方程可知直线AB的方程为x+2y-2=0，进而利用两点间距离公式可求出|AB|=$\sqrt{5}$，通过M、N两点坐标可求出点M到直线AB的距离d_M、点N到直线AB的距离d_N，利用S=$\frac{1}{2}$|AB|（d_M+d_N）计算、化简可知S=-2•$\frac{{m}^{2}+4m-4}{4+{m}^{2}}$，通过记f（x）=-2•$\frac{{x}^{2}+4x-4}{4+{x}^{2}}$，并求导可知f（x）在区间（-2，$2-2\sqrt{2}$）上单调递增、在（$2-2\sqrt{2}$，0）上单调递减，计算即得结论．

解答（1）解：∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
∴其右准线方程为：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∵右焦点到右准线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2，c=$\sqrt{3}$，
∴a²=4，b²=a²-c²=4-3=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，1），直线直线BN，AM的斜率均存在且不为0．
①证明：设直线AM的方程为：x=my+2，则直线BN的方程为：x=-my+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得：（4+m²）y²+4my=0，
∴M（$\frac{8-2{m}^{2}}{4+{m}^{2}}$，-$\frac{4m}{4+{m}^{2}}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=-my+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得：（4+m²）y²-2m²y+m²-4=0，
∴N（$\frac{8m}{4+{m}^{2}}$，$\frac{{m}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$），
∴直线l的斜率为$\frac{\frac{{m}^{2}-4}{4+{m}^{2}}+\frac{4m}{4+{m}^{2}}}{\frac{8m}{4+{m}^{2}}-\frac{8-2{m}^{2}}{4+{m}^{2}}}$=$\frac{{m}^{2}+4m-4}{2{m}^{2}+8m-8}$=$\frac{1}{2}$；
②解：由（1）可知直线AB的方程为：x+2y-2=0，|AB|=$\sqrt{（2-0）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由①可知：M（$\frac{8-2{m}^{2}}{4+{m}^{2}}$，-$\frac{4m}{4+{m}^{2}}$），N（$\frac{8m}{4+{m}^{2}}$，$\frac{{m}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$），
∵点M在第一象限，
∴$\frac{1}{m}$＜-$\frac{1}{2}$，即-2＜m＜0，
∴点M到直线AB的距离d_M=$\frac{|\frac{8-2{m}^{2}}{4+{m}^{2}}-2•\frac{4m}{4+{m}^{2}}-2|}{\sqrt{1+4}}$=-$\frac{4{m}^{2}+8m}{\sqrt{5}（4+{m}^{2}）}$，
点N到直线AB的距离d_N=$\frac{|\frac{8m}{4+{m}^{2}}+2•\frac{{m}^{2}-4}{4+{m}^{2}}-2|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{16-8m}{\sqrt{5}（4+{m}^{2}）}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|AB|（d_M+d_N）=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•[$\frac{16-8m}{\sqrt{5}（4+{m}^{2}）}$-$\frac{4{m}^{2}+8m}{\sqrt{5}（4+{m}^{2}）}$]
=-2•$\frac{{m}^{2}+4m-4}{4+{m}^{2}}$，
记f（x）=-2•$\frac{{x}^{2}+4x-4}{4+{x}^{2}}$，则令f′（x）=$\frac{8（{x}^{2}-4x-4）}{（4+{x}^{2}）^{2}}$=0，
即x²-4x-4=0，解得：x=$2-2\sqrt{2}$或$2+2\sqrt{2}$（舍），
∴f（x）在区间（-2，$2-2\sqrt{2}$）上单调递增，在（$2-2\sqrt{2}$，0）上单调递减，
又∵f（$2-2\sqrt{2}$）=-2•$\frac{（2-2\sqrt{2}）^{2}+4（2-2\sqrt{2}）-4}{4+（2-2\sqrt{2}）^{2}}$=$2\sqrt{2}$，
f（-2）=-2•$\frac{（-2）^{2}+4•（-2）-4}{4+（-2）^{2}}$=2，f（0）=-2•$\frac{0+0-4}{4}$=2，
∴四边形AMBN面积S的取值范围是：（2，$2\sqrt{2}$]．